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Mécanique du vol - Mathématiques
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1. Généralités

Le mot «trigonométrie» vient du grec et signifie " mesure des triangles". C'est donc l'art de mesurer les angles.  


La trigonométrie a été d'abord associée à l'astronomie : l'astronome grec Hipparque qui a vécu au IIe siècle avant JC a fondé la trigonométrie et a calculé les premières tables trigonométriques (calculs de sinus, cosinus et tangente d'un angle) dans le but de prédire des phénomènes astronomiques régulier. Il a mis au point une méthode pour mesurer le rapport des distances entre la Terre, la Lune et le Soleil. Ptolémée a complété les travaux d’Hipparque et a construit la célèbre table des cordes de demi degré en demi degré dans l’ouvrage l’Almageste. La trigonométrie est devenue une branche des mathématiques au XVIIe siècle.


Ses applications sont nombreuse : arpentage (mesure de la superficie des terres), topographie (relevé et description des lieux), sylviculture (hauteur des arbres par exemple), navigation, électricité (l'intensité du courant alternatif est exprimée à l'aide du sinus) et bien sûr aviation.

2. Formules

Soit le triangle ABC rectangle en B.

 


Relativement à l'angle A, nous avons :

Le mot tangente vient du latin "tangere" qui signifie toucher. La tangente a été inventé par un égyptien au début du Xe siècle. C'est l'outil idéal pour mesurer des hauteurs (notamment les hauteurs de monuments)

3. Exercice d'application

(niveau : classe de 3ème)

Un signal électromagnétique bref est émis par le radar de la tour de contrôle. Après l’écho sur l’avion, il revient au radar 0.000 3 seconde après son émission. La direction radar-avion fait un angle de 15° avec l’horizontale.

exo_trigo.png


Sachant que le signal émis voyage à 300 000 km/s, calculer en kilomètres l’altitude de l’avion et la distance horizontale qui le sépare du radar de contrôle.

Réponse

Calcul de AC

Calcul de l’altitude de BC

Calcul de la distance horizontale (AB)

La signal parcourt 300 000 km en 1 s.

En 0.0003s, il parcourt :

300 000 * 0.0003 km, soit 90 km.

Mais il effectue un aller-retour,
donc :

AC = 45 km

ABC est rectangle en B

sin  = BC / AC

sin 15° = BC / 45
0.259 = BC / 45
BC = 0.259 * 45

BC = 11.654 km

cos  = AB / AC
cos 15° = AB / AC

AB = cos 15 * 45

AB = 43.467 km

 

Date de création : 25/06/2009 @ 22:28
Dernière modification : 21/01/2013 @ 12:24
Catégorie : Mécanique du vol
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Réactions à cet article


Réaction n°5 

 par webmaster le 21/01/2013 @ 12:32

Bonjour Vadez,

- Dans le calcul de BC,
0.259 vient du calcul sin 15°.
J'ai ajouté une étape dans le calcul pour vous

sin 15° = BC / 45
0.259 = BC / 45

- Dans le calcul de la distance horizontale (AB), j'ai également ajouté une 1ère étape pour expliquer d'où vient le cos 15°.
cos  = AB / AC
cos 15° = AB / AC
J'espère avoir répondu à vos interrogations. N'hésitez pas à poser des questions si tout n'est pas clair.

Réaction n°4 

 par VADEZ le 21/01/2013 @ 08:00

Bonjour,

Votre article concernant la trigonométrie a retenu toute mon attention.

Malheureusement je suis plus que nul en la matière et je serais désireux d'avoir des précisions en ce qui concerne les points suivants :

- Calcul de l'altitude de BC et en particulier à quoi se raporte 0.259

- Calcul de la distance horizontale (AB)

Merci de bien vouloir éclairer ma  triste lanterne.

Cordialement

Claude Vadez


Réaction n°3 

 par chouaib le 17/09/2012 @ 20:21

Erreurs Fatales: je veux signale que les mathématiciens arabo-musulmans qui ont fait introduire la trigonométrie dans les calculs astronomiques pas les grec  Derri`ere le nom g´en´erique de « table astronomique » se cachent plusieurs concepts : l’´etablissement des calendriers religieux, la d´etermination de la direction de la qibla, la visibilit´e du croissant de lune, les calculs des lignes trigonom´etriques et fonctions sph´eriques, la d´etermination des mouvements des plan`etes, les ´eclipses... Ces tables se sont de plus en plus pr´ecis´ees au fur et `a mesure que l’alg`ebre et les algorithmes ´etaient perfectionn´es. Citons par exemple les tables d’Ibn Yunus (relatives `a l’´equation de la Lune) qui fournissent trente mille valeurs du param`etre, et celles d’Ulugh Beg qui en fournissent plus de cent soixante-dix mille.http://nicobally.free.fr/recherche/m2/validation_cours/sciences_arabes/astronomie.pdfet deuxièment que la technique " l'effet doppler "utilisée pour les radar Un radar est un appareil qui émet des paquets d’ondes et écoute ensuite le retour de cible. Si ces cibles se déplacent, un effet Doppler est engendré ce qui permet d’en tirer la vitesse radiale de leur déplacement. Le radar peut donc être adapté pour utiliser ce principehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_Doppler

Réaction n°2 

 par webmaster le 14/09/2011 @ 11:45

Bonjour vit13, l'erreur est corrigée e. Merci !

Réaction n°1 

 par vit13 le 13/09/2011 @ 19:28

bonsoir,
petite erreur d'écriture pour le calcul de la distance horizontale:
cos 15° = AB/AC  et non  AC/AB;
beaucoup de travail,votre site intéressant.
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